Сумма произведений - это математическая операция, при которой перемножаются соответствующие элементы нескольких наборов чисел, а затем полученные произведения складываются. Эта операция широко применяется в различных областях математики и ее приложениях.
Содержание
Основное определение
Для двух наборов чисел a₁, a₂, ..., aₙ и b₁, b₂, ..., bₙ сумма произведений вычисляется по формуле:
Σ(aᵢ × bᵢ) = a₁ × b₁ + a₂ × b₂ + ... + aₙ × bₙ
Области применения
| Область | Пример использования |
| Линейная алгебра | Скалярное произведение векторов |
| Теория вероятностей | Математическое ожидание произведения случайных величин |
| Экономика | Расчет общей стоимости набора товаров |
| Физика | Вычисление работы силы |
Примеры вычисления
Пример 1: Скалярное произведение векторов
Для векторов A = (2, 3, 5) и B = (1, 4, 2):
- 2 × 1 = 2
- 3 × 4 = 12
- 5 × 2 = 10
- Сумма произведений: 2 + 12 + 10 = 24
Пример 2: Расчет общей стоимости
Для товаров с ценами (100, 200, 150) и количествами (3, 1, 2):
- 100 × 3 = 300
- 200 × 1 = 200
- 150 × 2 = 300
- Общая стоимость: 300 + 200 + 300 = 800
Свойства суммы произведений
| Свойство | Формулировка |
| Дистрибутивность | Σ(aᵢ × (bᵢ + cᵢ)) = Σ(aᵢ × bᵢ) + Σ(aᵢ × cᵢ) |
| Ассоциативность | Σ(k × aᵢ × bᵢ) = k × Σ(aᵢ × bᵢ) |
| Коммутативность | Σ(aᵢ × bᵢ) = Σ(bᵢ × aᵢ) |
Особые случаи
В некоторых ситуациях сумма произведений может упрощаться:
- Если один из наборов состоит из единиц: Σ(1 × bᵢ) = Σbᵢ
- Если один из наборов постоянен: Σ(aᵢ × c) = c × Σaᵢ
- Для ортогональных векторов: Σ(aᵢ × bᵢ) = 0
Практическая значимость
Операция суммы произведений является фундаментальной для:
- Матричных вычислений
- Статистического анализа
- Оптимизационных задач
- Цифровой обработки сигналов
- Машинного обучения
