Сумма внутренних углов многоугольника является важной характеристикой в геометрии. Рассмотрим, как она вычисляется для произвольного n-угольника.
Содержание
Формула суммы внутренних углов
Для любого выпуклого n-угольника сумма внутренних углов вычисляется по формуле:
S = (n - 2) × 180°
где n - количество сторон (углов) многоугольника.
Примеры для различных многоугольников
| Многоугольник | Количество сторон (n) | Сумма углов |
| Треугольник | 3 | (3-2)×180° = 180° |
| Четырехугольник | 4 | (4-2)×180° = 360° |
| Пятиугольник | 5 | (5-2)×180° = 540° |
| Шестиугольник | 6 | (6-2)×180° = 720° |
Доказательство формулы
Формула выводится следующим образом:
- Из любой вершины n-угольника проводим все возможные диагонали
- Многоугольник разбивается на (n-2) треугольника
- Сумма углов каждого треугольника равна 180°
- Общая сумма углов: (n-2) × 180°
Сумма внешних углов
Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) всегда равна:
360°
независимо от количества сторон.
Особые случаи
- Для правильного n-угольника каждый внутренний угол равен: (n-2)×180°/n
- Для звездчатых многоугольников формула не применяется
- Для невыпуклых многоугольников сумма углов также определяется формулой (n-2)×180°
Знание этой формулы позволяет решать разнообразные геометрические задачи, связанные с многоугольниками, и определять их свойства.
